[독서 후기] 틀리지 않는 법 수학적 사고의 힘

이 책에 흥미를 갖게 된 이유

전투기 그림이 하나 있다. 전투기 그림에 표시된 빨간 점들은 생환한 전투기에 있었던 피격 위치를 표시한 것이다.

해당 자료를 기반으로 전투기 조종사의 생환률을 높이고자 한다면, 어느 부분의 내구성을 보완해야 할까?

 

보통 피격을 가장 많이 받은 곳을 보완해야한다고 말한다고 한다. 왜냐하면, 해당 위치에 피격이 가장 많이 가해졌기 때문이다.

그러나 보완해야하는 곳은 피격을 많이 받은 곳도, 적게 받은 곳도 아닌 피격을 받지 않은 곳을 보완해야한다는 것이 정답이라고 한다.

피격받은 적이 없는 위치가 존재한다는 것은, 해당 위치를 피격받은 전투기는 생환하지 못했기 때문이라는 것이다.

 

이를 보고 생존자 편향의 오류라고 한다.

 

위 내용을 인터넷 커뮤니티에서 우연히 보게 되었다. 그리고 이러한 내용이 그냥 나온 것이 아니라 어떠한 책 한 권에서 발췌한 내용이라는 것을 알게 되었고, 이 책을 한 번 읽어보아야겠다는 생각을 하게 되었다.

실제로 이 책에서는 초반에 위 내용을 다루며, 왜 그래야 하는지에 대한 수학적 증명도 일부분 보여주었다.(이해하진 못했다.)

 

아쉬웠던 부분

솔직히 말해서, 저자가 무엇을 이야기하고 싶은 것인지 모르겠다.

 

보통 이야기를 한다면 일정한 흐름이 있을 것이고, 무언가를 전달하고자 한다면 그에 맞는 구성이 있을 것이다.

a는 b다. 왜냐하면 a1, a2, a3를 살펴보면 모두 a는 b라는 것을 알 수 있기 때문이다. 라는 시식으로 구성을 할 텐데,(a1, a2, a3은 모두 비슷하거나 서로 연관된 이야기를 뜻한다.)

이 책에서는 a는 b다. 그리고 c를 보고, d를 보고, e를 봐라. 이런 사례들을 보고 우리는 f를 추론할 수 있다. 이런 식이다.

좀 더 쉽게 이야기하자면, 여러 이야기를 주구장창 한 다음, 그것들을 하나로 묶어줄 정리가 존재하지 않는다. 그냥 무수한 이야기의 연속이다.

 

심지어 어떤 부분들은 a를 이야기하고 c, e, f를 이야기하고 있는데, 갑자기 이 모든 이야기가 a를 위한 이야기였다고 하기도 한다. 물론, 왜 이것들이 a와 연관있는지에 대해서는 설명해주지 않는다.

 

왜 그런걸까

내 생각에는, 책을 쓰면서 저자는 최대한 쉽게 설명을 했다. 하고자 한다면 이해하는 것도 가능은 할 것이다.

그러나 문제는, 이 책의 페이지 수가 600페이지에 달하며, 10페이지가 넘지도 않았는데 이해해야 하는 새로운 이론과 공식, 증명 등을 이해해야하며(심지어 논문도 나온다.), 저자가 생각하는 쉽게는 일반인이 아니라 수학자를 기준으로 한 것이라는 것이다.

 

물론, 모든 내용이 그렇다는 것은 아니다. 일부 일반인들도 이해하기 쉬운 내용들도 있다.

그러나 결론적으로, 이 책을 쓴 사람이 무엇을 이야기하고 싶은 것인지 모르겠다.

어떤 규칙을 알게 되었으면 그냥 믿지 말아라?

무언가를 생각하기 전에 그 기준이 되는 것이 올바른지 생각해라?

다른 관점에서 문제를 바라보는 생각을 하자?

사람은 그렇게 논리적인 사고를 하지 않는다?

이런 추론들은 가능하지만, 저자에게 이야기하면 그가 나에게 이렇게 이야기할 것 같다. "당신은 과거 나를 고용했던 결핵 연구자와 같은 생각을 하는군요."라고.

 

기억에 남는 것들

글 자체는 쉽게 읽힌다. 물론 쉽게 읽힌다고 이해도 쉽다는 것은 아니다. 다만 번역자가 얼마나 심혈을 기울여 번역을 했을지에 대해서 느낄 수 있을 정도로 쉽게 읽힌다.

그 외 다른 이야기들로는

 

1. 생존자 편향의 오류 이야기.

앞서 이야기했던 전투기 이야기다. 나는 이 내용과 같은 내용들이 주를 이룰 것이라고 생각했었다.

 

2. 랜덤하게 이루어진다는 것에 대한 사람들의 착각.

책에서는 스프레이를 통해 이야기를 하는데, 무작위로 뿌려지는 스프레이를 점으로 표시하면 어떻게 될까?

거의 모든 점이 겹치지 않겠지만, 일부 점들은 겹치게 된다. 그러나, 사람들은 이를 보고 조작되지 않았다가 아니라 이 결과는 조작되었다고 생각한다고 한다. 왜냐? 무자위로 뿌려졌는데 겹치는 부분이 있기 때문이다.

그러나 저자는 랜덤하기 때문에 겹치는 부분이 발생되었다고 말한다. 왜 그런지에 대해서는 책을 읽어보는 것을 추천한다.

 

3. 동전 던지기

이 역시 앞서 말한 스프레이 이야기와 비슷한 것인데, 동전 던지기는 과연 50%일까?하는 물음을 생각해본 적이 있다면 흥미로울 내용이다.

앞앞앞뒤 앞앞앞앞 뒤뒤뒤뒤 앞뒤앞뒤 뒤뒤앞앞

동전을 던졌을 때, 위 5개의 배열 중에서 어떤 것이 맞을까? 누군가는 모두 틀렸다고도, 모두 맞았다고도, 일부만 맞았다고 생각할 수 있다. 답은 모두 맞다는 것이다.

50%라는 확률은 일부 자료가 아닌 전체 자료에서 보이는 통계이기 때문이다. 나는 이와 비슷한 내용을 게임과 관련된 글에서 본 적이 있다.

일명 천장 시스템인데, 드랍률이 20%인 아이템이 있다고 한다면, 사람들은 10마리 중 2마리는 아이템을 떨어뜨려야 한다고 생각한다. 그러나 실제로는 10마리를 잡아도 아이템을 주지 않는 경우가 생기는데, 이때 사람들은 매우 불합리하다고 느낀다고 한다. 그래서 4마리를 잡았는데도 아이템을 얻지 못했다면, 5마리째는 무조건 아이템을 얻도록 설정했더니 사람들이 만족했다는 것이다. 실제로는 이런 시스템이 불합리한 것인데 말이다.

 

4. 복권

복권 내용은 긴데.. 그 부분 중에 복권의 가치에 대해 계산하는 것이 있었다. 다음과 같았는데,

(당첨금) / (당첨 확률) + (당첨금) / (당첨 확률) + ... = (복권의 기대값)

로또도 좋지만, 당첨금에 고정되어있는 이를 긁는 복권인 스피또에 대입해보자. 당첨 확률과 당첨금은 여기서 확인이 가능하다.

스피또 500

2억원 / 4백만 + 백만원 / 20만 + 5천원 / 66.7 + 5백원 + 3.3 = 약 281원

스피또 1000

5억원 / 5백만 + 2천만원 / 백만 + 만원 / 181.8 + 오천원 / 40 + 천원 / 3.3 = 약 603원

스피또 2000

10억원 / 5백만 + 1억원 / 1,666,666.7 + 천만원 / 20만 + 2만원 / 363.6 + 4천원 / 14.3 + 2천원 / 3.6 = 약 1,200원

 

스피또 1000을 보면, 우리가 1천원을 지불해야 구입할 수 있는 복권에는 대략 600원 정도의 기대값이 있다. 이는 600원 정도의 이익을 기대하고 살만하다는 것인데, 이를 통해 우리가 기대하는 것보다 복권의 기대 가치가 떨어지기 때문에, 저자는 복권을 사지 말라고 한다.

책에는 이런 기대 가치 계산을 잘못해서 지나치게 높아진 기대값을 가진 복권을 다양한 집단(MIT 학생 연합도 있다.)이 이용하는 사건을 이야기해주기도 한다.

 

5. 주식

볼티모어 주식 중개인의 이야기를 해준다. 만약 주식 중개인이 당신에게 추천한 주식 종목이 10번 연속 오른다면, 누구나 혹하는 생각이 들기 마련이다.

그러나 다르게 생각해볼 수도 있는데, 과연 정말로 주식 중개인이 순수하게 10번 연속으로 주가의 상승을 맞춘 것이 맞느냐는 것이다.

이건 나름 유명한 이야기이긴 한데.. 먼저 10,240명을 선택한다. 그 다음 2개의 종목을 선택하고, 5,120명에게는 종목 a가, 다른 5,120명에게는 종목 b가 오를 것이라는 정보를 준다.

둘 중 하나의 종목만 올랐다면, 다시 종목 2개를 뽑아 2,560명에게는 종목 a가, 다른 2,560명게는 종목 b가 상승할 거라는 연락을 한다.

 

이렇게 같은 과정을 10번 반복하면 최종적으로 10명에게는 10번 연속으로 올바른 정보(주가가 오른다는)를 주는 족집게 달인으로 인식될 수 있게 된다.

※ 2의 10제곱 = 1,024

그리고 이렇게 10번 연속 맞는 정보를 받은 10명의 사람은 주식 중개인의 광신도가 될 것이고, 그 다음엔 기꺼이 비용을 지불해가며 정보를 얻으려고 생각할 것이라는 계산이다.

책에서는 이 이야기가 실제로 있었다는 소문이 있다고도 한다.

 

뭐랄까, 이렇게 단편적인 내용만 적어두면 굉장히 흥미로운 내용들이 많은데.. 이 내용들이 하나로 묶인 책을 보면 이 이야기들을 통해 어떤 것을 전달하고 싶은 것인지 모르겠다는 흠이다.(...)
누구에게 어떤 내용을 전달하기 위해 만들어진 책이 아니라 개인이 기록한 일기를 서적화한 책이라고 생각하게 된다.